Agrupamiento con k-means

k-means agrupa un conjunto de datos en $k$ grupos (clusters), juntando los ejemplos que se parecen entre sí. Es el algoritmo de agrupamiento más usado: simple, rápido y sorprendentemente efectivo.

La idea: k centros

Cada grupo se representa por un punto central llamado centroide (el "promedio" del grupo). Un ejemplo pertenece al grupo cuyo centroide tiene más cerca. El algoritmo busca colocar esos $k$ centros de modo que cada punto quede lo más pegado posible al suyo.

El algoritmo, paso a paso

k-means alterna dos pasos hasta que nada cambia:

1. Inicializar: elige $k$ centroides al azar.
2. Asignar: cada punto se une al centroide más cercano.
3. Actualizar: cada centroide se recalcula como el promedio de los puntos que le tocaron.
4. Repetir los pasos 2 y 3 hasta que los grupos se estabilizan.

Es un baile de dos pasos —asignar y promediar— que converge en pocas iteraciones.

Qué minimiza

El algoritmo reduce la inercia: la suma de las distancias al cuadrado de cada punto a su centroide ${\mu }_c$.

$$\text{Inercia}=\sum _{i=1}^n\Vert {\mathbf{x}}_i-{\mu }_{c(i)}{\Vert }^2$$

Cuanto menor es la inercia, más compactos y bien definidos son los grupos.

Elegir k: el método del codo

$k$ lo elige la persona, no el algoritmo. Un truco habitual es el método del codo: se prueba la inercia para varios valores de $k$ y se grafica. Al principio baja rápido; llega un punto donde añadir más grupos ya casi no ayuda. Ese "codo" en la curva sugiere un buen $k$.

En código

scikit-learn resuelve todo el baile en dos líneas:

from sklearn.cluster import KMeans

modelo = KMeans(n_clusters=3, n_init=10, random_state=0).fit(X)

print(modelo.labels_)          # a qué grupo (0, 1, 2) fue cada punto
print(modelo.cluster_centers_) # las coordenadas de los 3 centroides
modelo.predict(X_nuevo)        # asigna puntos nuevos al grupo más cercano

Conviene escalar las variables antes (con StandardScaler), porque k-means se basa en distancias y una variable de gran magnitud dominaría el agrupamiento.

Límites que conviene recordar

• Hay que fijar $k$ de antemano.
• Asume grupos redondos y de tamaño parecido; falla con formas alargadas o entrelazadas.
• El resultado depende de la inicialización, por eso se corre varias veces (n_init) y se elige la mejor.

Para llevar

k-means agrupa datos en $k$ clusters asignando cada punto a su centroide más cercano y recalculando los centros hasta estabilizarse. Es la herramienta base del agrupamiento: rápida e intuitiva, siempre que los grupos sean más o menos redondos y elijamos bien $k$. La otra mitad de esta serie, PCA, ataca el problema complementario: demasiadas variables.